旅行家(TSP)问题

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最近做吉比特的笔试题，遇到了一道改版的旅行家(TSP)问题。然而我对正常的TSP都还没有特别了解，于是回过头来稍微研究一下。

问题描述

Travelling Salesman Problem(TSP)是最基本的路线问题，它寻求的是旅行者从起点出发，通过所有给定的需求点之后，再次返回起点所花费的最小路径成本，也叫旅行商问题、旅行推销员问题。

动态规划

先说说动态规划（Dynamic Programming），我们知道动态规划通常用于求解具有某种最优性质的问题，其基本思想在于将待求解问题分解成若干个子问题（状态），先求解子问题，再又这些子问题的解求得愿问题的解（状态转移）。

对于TSP问题，我们这里可以用一个具体的例子来描述：

状态压缩DP

代码

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# 尝试着自己写TSP，基于动态规划
# 假设0为起点，实际上从哪里出发不重要，最后的路径是一条回路，从哪里出发都一样
import sys
def tsp(roadmap):
    n = len(roadmap)
    dp = [[0x7fffff] * (2 ** (n - 1)) for _ in range(n)]
    track = [[-1] * (2 ** (n - 1)) for _ in range(n)]
    
    for row in range(n):
        for col in range(n):
            if roadmap[row][col] == -1:
                roadmap[row][col] = 0x7fffff
    
    # 更新第一列
    for row in range(n):
        dp[row][0] = roadmap[row][0]
        track[row][0] = 0
        
    # 更新后面的列
    for col in range(1, 2 ** (n - 1)):
        for row in range(n):
            if row > 0 and (col >> (row - 1) & 1) == 1:
                continue
            for k in range(1, n):
                if (col >> (k - 1) & 1) == 0:
                    continue
                    
                length = roadmap[row][k] + dp[k][col ^ (1 << (k - 1))]
                if length < dp[row][col]:
                    dp[row][col] = length
                    track[row][col] = k
                # dp[row][col] = min(dp[row][col], roadmap[row][k] + dp[k][col ^ (1 << (k - 1))])
                
    # 回溯路径
    path = [0]
    i, j = 0, 2 ** (n - 1) - 1
    while j != 0:
        i = track[i][j]
        j = j ^ (1 << (i - 1))
        path.append(i)
    path.append(0)
    
    # 输出
    return dp[0][-1], path

测试样例：

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# D = [[-1,10,20,30,40,50],[12,-1,18,30,25,21],[23,19,-1,5,10,15],[34,32,4,-1,8,16],[45,27,11,10,-1,18],[56,22,16,20,12,-1]]
D=[
[-1, 3, 6, 7],
[ 5,-1, 2, 3],
[ 6, 4,-1, 2],
[ 3, 7, 5,-1]]
# D = [[-1, 1], [1, -1]]
r, path = tsp(D)
print(r)
print(" --> ".join([str(x) for x in path]))

输出：

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0 --> 1 --> 2 --> 3 --> 0

参考

使用动态规划求解旅行商问题
用动态规划算法求解Travelling Salesman Problem(TSP)问题
hdu 3001 Travelling 旅行商问题（每个城市可以走两遍）